从基本不等式的几何证明谈起
我们来看一道题目。［例题1］设a、b为正实数，用几何图形证明：
基本不等式
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题目要求我们证明的是一个很重要的基本不等式。
对此，只须联想到半圆的弓形角是直角及弦高定理的图形性质，就不难完成解题了(图3).
图3
上图的内涵很丰富，我们可以细细品味。半圆所对的弦AB是⊙O的直径，O是圆心。半径OD与圆周交于D点。从D点作垂线CD⊥AB，垂足是C。
因为直径所对的圆周角都是直角，所以三角形ABD是直角三角形，CD是直角三角形斜边上的高。图上A、B、C、D四个点可以构成三个直角三角形，而且这三个直角三角形彼此之间两两相似。(同学们自己思考为什么两两相似？)
图中AC=a，CB=b，半径OD=½(a+b)，CD=根号ab。
为什么CD=根号ab呢？这可以用相似三角形对应线段成比例来说明。连接AD和BD，立刻得到三个彼此相似的直角三角形。于是有
AC:CD=CD:CB，⇒CD²=ab，(CD是比例中项)，所以
CD=根号ab。
图3可以直观地看到，基本不等式的左边是半径，是直角三角形的斜边，基本不等式的右边是直角边，当然小于斜边。那么，什么时候基本不等式取等号呢？只有旋转半径OD，使其和直径AB垂直时，此时垂足C和圆心O重合，a=b，基本不等式可以取等号。基本不等式的意义是算术平均数大于等于几何平均数。
在直角三角形ABD中，三条高有怎样的数量关系呢？如果用h表示斜边上的高CD，那就可以用一个公式来表达三条高的关系：
a和b是直角边
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这个公式被称为弦高定理。举个例子，设直角三角形三边为a=6，b=8，c=10，那么有
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如果只是想求出斜边上的高，有更简单的方法。
h=a×b÷c=4.8
斜边被垂足分为两条线段，怎样求这两条线段呢？欧几里得早就给出了答案。
设直角边在斜边上的射影分别为a'和b'，则有a'+b'=c，欧几里得说，a²=ca'，b²=cb'，所以
a'=36÷10=3.6，b'=64÷10=6.4
在图3中，如何作图作出√a呢？比如，如何作出√5呢？
这很简单，只须让a=AC=5，b=BC=1，那么CD就是√5。当然，这个作图不是尺规作图，因为古希腊人的直尺没有刻度。
另外，图3还可以告诉我们，正弦的含义和名称的来历。如果令AB=1，那么图3告诉我们，sin 90°=1。
解释一下正弦函数的另外一个定义。在直径为1的圆中，弦所对的圆周角的正弦等于弦长。正弦的弦字就是指圆中的弦。因为同一条弦所对的圆周角相等，所以这个定义没毛病。直径是圆中最长的弦，所以设为1，因为正弦函数的最大值也就是1。因为圆内接四边形的内对角互补，所以sin A=sin (180°-A)，因为这两个圆周角对的是同一条弦，当然等式成立。
根据正弦函数的这个定义，我们又多了一个计算正弦的方法，就是计算弦长。举个例子，请看下图：
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我们来计算角C的正弦。
角A和角C的正弦相等，余弦互为相反数。用多种方法可以算出BD=4，那么我们可以来计算三角形BCD的外接圆半径。令半径=R，由三角形面积公式可得：
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算出R后，需要把弦BD的弦长4换算成单位圆的弦长x，换算过程就是解比例式。
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计算出sin C以后，利用三角恒等式可以算出cos C，过程如图所示。
在下面的链接中，我们已经用余弦定理算出cos C=¼，详情请看下面的链接。
https://m.toutiao.com/is/rtrVyk6/ - 已知四边怎样求圆内接四边形对角线 - 今日头条
通过多种方法的验证，证明了我们用正弦函数的定义计算正弦值(用弦长定义正弦)是可行的。不过，在解题时，需要考虑哪种方法计算简便就采用哪种。
接下来，我们计算角C的角度。
∠C=arccos(¼)
用科学计算器得到≈1.318116072
这是弧度，需要换算成我们熟悉的角度。
换算公式是：
弧度=角度×π÷180
角度=弧度×180÷π
换算结果如下：
1.318116072×180÷π≈75.522487834≈75.5°